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Ejercicios resueltos de diagonalizacion de formas cuadraticas

Ejercicio 1

Diagonalizar la forma cuadrática $\mathbf{Q}=x^2+y^2-2xz+2yz$ , calculando una base ortonormal de diagonalización y la expresión de $\mathbf{Q}$ en el nuevo sistema de coordenadas que esta base define.

Calcular la matriz de la métrica

$G=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1&\\ 0 & 1 & 1&\\ -1 & 1 & 0& \end{pmatrix}$

Diagonalizar la matriz

Calculamos el polinomio característico y obtenemos los valores propios

$\left \{ -1,1,2 \right \}$

Obtenemos la forma diagonal

$D=\begin{pmatrix} -1& 0& 0&\\ 0& 1& 0&\\ 0& 0& 2& \end{pmatrix}$

Con esto valores propios obtenemos la base de vectores propios (calculando los diferentes nucleos con los valores propios) $\left \{ v_1=(1,-1,2), v_2=(1,1,0), v_3=(-1,1,1)\right \}$

Calculamos ahora la base ortonormal de diagonalizacion (dividiendo cada vector por su modulo)

$\left \{ u_1=\frac{v_1}{\sqrt{6}},u_2=\frac{v_2}{\sqrt{6}},u_3=\frac{v_3}{\sqrt{6}} \right \}$

Por lo tanto la matriz de cambio de base es :

$B=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{3}} &\\ \frac{-1}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}} &\\ \frac{2}{\sqrt{6}}& 0& \frac{1}{\sqrt{3}}&\\ \end{pmatrix}$

Calculamos la expresión de $\mathbf{Q}$ en el nuevo sistema de coordenadas $\left \{ X,Y,Z \right \}$

$\begin{pmatrix} X\\ Y\\ Z \end{pmatrix}=B^{-1}$

Por lo tanto

$\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} X=\frac{1}{\sqrt{6})}(x-y+2z)\\ Y=\frac{1}{\sqrt{2})}(x+y)\\ Z=\frac{1}{\sqrt{3})}(-x+y+z) \end{pmatrix}$

Ejercicio 2

Clasificar segun los valor del parametro real la siguiente forma cuadratica

Calculamos la matriz asociada a la forma cuadratica

$G=\begin{pmatrix} 2& 0& a&\\ 0& a& 0&\\ a& 0& 2& \end{pmatrix}$

Calculamos el poliminomio caracteristico para obtener asi los valores propios

$\left | xI-G \right |=\begin{vmatrix} x-2& 0& -a&\\ 0& x-a& 0&\\ -a& 0& x-2& \end{vmatrix}$

$\left | xI-G \right |=(x-a)\left [ (x-(2+a) \right ]\left [ (x-(2-a) \right ]$

Valores propios $=\left \{ a,2+a,2-a \right \}$

Si $a< -2\rightarrow \left [r_0=0,r_+=1,r_-=2\ \right ]\rightarrow R_1=\begin{pmatrix} 1& 0& 0&\\ 0& -1& 0& \\ 0& 0& 1& \end{pmatrix}$

Si $a= -2\rightarrow \left [r_1=0,r_+=1,r_-=1\ \right ]\rightarrow R_2=\begin{pmatrix} 0& 0& 0&\\ 0& 1& 0& \\ 0& 0& 1& \end{pmatrix}$

Si $-2< a< 0\rightarrow \left [r_0=0,r_+=2,r_-=1\ \right ]\rightarrow R_1=\begin{pmatrix} 1& 0& 0&\\ 0& 1& 0& \\ 0& 0& -1& \end{pmatrix}$

Si $a=0\rightarrow \left [r_1=0,r_+=2,r_-=0\ \right ]\rightarrow R_1=\begin{pmatrix} 0& 0& 0&\\ 0& 1& 0& \\ 0& 0& 1& \end{pmatrix}$

Si $0< a< 2\rightarrow \left [r_0=0,r_+=3,r_-=0\ \right ]\rightarrow R_1=\begin{pmatrix} 1& 0& 0&\\ 0& 1& 0& \\ 0& 0& 1& \end{pmatrix}$

Si $a=2\rightarrow \left [r_0=1,r_+=2,r_-=0\ \right ]\rightarrow R_1=\begin{pmatrix} 0& 0& 0&\\ 0& 1& 0& \\ 0& 0& 1& \end{pmatrix}$

Si $a> 2\rightarrow \left [r_0=0,r_+=2,r_-=1\ \right ]\rightarrow R_1=\begin{pmatrix} 1& 0& 0&\\ 0& 1& 0& \\ 0& 0& -1& \end{pmatrix}$

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