Saltar al contenido
Explicación Método o Regla de Cramer
¿ Que es el método de Cramer y para que sirve ?
El método de Cramer o la regla de Cramer es un un teorema usado en el Algebra Lineal que sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
¿ Cuando se utiliza la regla o el método de Cramer ?
El metodo de Cramer se puede aplicar cuando el sistema de ecuaciones lineas cumpla la siguiente condicion:
- El numero de incógnitas sea igual al numero de ecuaciones
\,n^{\circ} \mathrm{incognitas}= n^{\circ} \mathrm{ecuaciones}
- El determinante de la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones sea distinto de cero
\,\left | \mathrm{A} \right |\neq 0
Ejemplos de cuando se usa la regla de Cramer
\,a)=\left\{\begin{matrix}x-y+5z = 13\\ 3x-2y+z=12 \\ x+y+2z =9 \end{matrix}\right.
- Comprobamos la primer condicion: Tenemos 3 incognitas \,x\, y\, z y tenemos 3 ecuaciones
- Comprobamos la segunda condicion: El determinante formado por el sistema de ecuaciones es distinto de cero
\,\left | \mathrm{A} \right |=\begin{vmatrix}1 & -1 & 5\\ 3 & -2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{vmatrix}\neq 0
Por lo tanto es un sistema de ecuaciones lineales que se puede resolverme mediante el metodo de Cramer
\,b)=\left\{\begin{matrix}x-2y+z = 3\\ 2x-3y-2z=5 \\ x-3y+5z =4 \end{matrix}\right.
- Comprobamos la primer condicion: Tenemos 3 incognitas \,x\, y\, z y tenemos 3 ecuaciones
- Comprobamos la segunda condicion: El determinante formado por el sistema de ecuaciones no es distinto de cero
\,\left | \mathrm{A} \right |=\begin{vmatrix}1 & -2 & 1\\ 2 & -3 & -2\\ 1 & -3 & 4\end{vmatrix}=0
Por lo tanto es un sistema de ecuaciones lineales que no se puede resolverme mediante el metodo de Cramer por que no cumple la segunda condicion , el determinante es igual a cero
Formula regla de Cramer 2×2
Como se aplica la regla de Cramer para un sistema 2×2
Sea un sistema de Cramer 2×2 de la forma:
\,\left\{\begin{matrix}a_{11}x & a_{12}y = b_{1} \\ a_{21}x & a_{22}y = b_{2} \end{matrix}\right.
donde \,\left \{ a_{11},a_{12},a_{21},a_{22},b_{1},b_{2} \right \} son los diferentes coeficientes del sistema y \,\left \{ x , y \right \} las incognitas
Para resolver un sistema de ecuaciones 2×2 por el metodo de Cramer o la regla de Cramer utilizaremos la siguiente formula para obtener las incognitas buscadas.
\,x=\dfrac{\left | A_x \right |}{\left | A \right |}
\,y=\dfrac{\left | A_y\right |}{\left | A \right |}
donde \,\left | A \right | es el determinante de la matriz de los coeficientes del sistema:
\,\left | A \right |=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}
donde \,\left | A_x \right | es el determinante asociado a \,x , que se forman al sustituir en la columna de los coeficientes de las \,x (primer columna) , los coeficientes de los terminos independientes
\,\begin{vmatrix}a_{11}\\ a_{21} \end{vmatrix}\Rightarrow \begin{vmatrix}b_{1}\\ b_{2} \end{vmatrix}
\,\left | A_x \right |=\begin{vmatrix}b_{1} & a_{12}\\ b_{2} & a_{22} \end{vmatrix}
donde \,\left | A_y \right | es el determinante asociado a \,y , que se forman al sustituir en la columna de los coeficientes de las \,y (segunda columna) , los coeficientes de los terminos independientes
\,\begin{vmatrix}a_{21}\\ a_{22} \end{vmatrix}\Rightarrow \begin{vmatrix}b_{1}\\ b_{2} \end{vmatrix}
\,\left | A_y \right |=\begin{vmatrix}a_{11} & b_{1}\\ a_{12} & b_{2} \end{vmatrix}
Formula regla de Cramer 3×3
Como resolver un sistema de ecuaciones 3×3 por Cramer
Sea un sistema de Cramer 3x3 de la forma:
\,\left\{\begin{matrix}a_{11}x & a_{12}y & a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x & a_{22}y & a_{23}z = b_2\\ a_{31}x & a_{32}y & a_{33}z = b_3\end{matrix}\right.
donde \,\left \{ a_{11},a_{12},a_{21},a_{22},a_{13},a_{23},a_{33},b_{1},b_{2},b_3 \right \} son los diferentes coeficientes del sistema y \,\left \{ x , y ,z\right \} las incognitas
Para resolver un sistema de ecuaciones 3×3 por el metodo de Cramer o la regla de Cramer utilizaremos la siguiente formula para obtener las incognitas buscadas.
\,x=\dfrac{\left | A_x \right |}{\left | A \right |}
\,y=\dfrac{\left | A_y\right |}{\left | A \right |}
\,z=\dfrac{\left | A_z\right |}{\left | A \right |}
donde \,\left | A \right | es el determinante de la matriz de los coeficientes del sistema:
\,\left | A \right |=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}
donde \,\left | A_x \right | es el determinante asociado a \,x , que se forman al sustituir en la columna de los coeficientes de las \,x (primer columna) , los coeficientes de los terminos independientes
\,\begin{vmatrix}a_{11}\\ a_{21}\\ a_{31} \end{vmatrix}\Rightarrow \begin{vmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3}\end{vmatrix}
\,\left | A_x \right |=\begin{vmatrix}b_{1} & a_{12} & a_{13}\\ b_{2} & a_{22} & a_{23}\\b_{3} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}
donde \,\left | A_y \right | es el determinante asociado a \,y , que se forman al sustituir en la columna de los coeficientes de las \,y (segunda columna) , los coeficientes de los terminos independientes
\,\begin{vmatrix}a_{21}\\ a_{22} \\ a_{32}\end{vmatrix}\Rightarrow \begin{vmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{vmatrix}
\,\left | A_x \right |=\begin{vmatrix}a_{11} & b_1 & a_{13}\\ a_{21} & b_2 & a_{23}\\a_{31} & b_3 & a_{33}\end{vmatrix}
donde \,\left | A_z \right | es el determinante asociado a \,z , que se forman al sustituir en la columna de los coeficientes de las \,z (tercera columna) , los coeficientes de los terminos independientes
\,\begin{vmatrix}a_{31}\\ a_{23} \\ a_{33}\end{vmatrix}\Rightarrow \begin{vmatrix}b_{1}\\ b_{2}\\ b_{3} \end{vmatrix}
\,\left | A_z \right |=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{21} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & b_2\\a_{31} & a_{31} & b_3\end{vmatrix}
Regla de Cramer 2×2 Metodo Ejercicios y ejemplos Resueltos Ejemplos
Resuelva si es posible el siguiente sistema por el metodo de Cramer
\,\left\{\begin{matrix}3x & -5y = 2\\ -4x & 3y = -1 \end{matrix}\right.
- Comprobamos la primer condicion: Tenemos 2 incognitas \,x\, y y tenemos 2 ecuaciones
- Comprobamos la segunda condicion: El determinante formado por el sistema de ecuaciones es distinto de cero
\left | A \right |=\begin{vmatrix}3 & -5\\ -4 & 3\end{vmatrix}=-11\neq 0
\,x=\dfrac{\left | A_x \right |}{\left | A \right |}
\,\left | A_x \right |=\begin{vmatrix}2 & -5\\ -1 & 3\end{vmatrix}=1
\,x=-\dfrac{1}{11}
\,y=\dfrac{\left | A_y \right |}{\left | A \right |}
\,\left | A_y \right |=\begin{vmatrix}3 & 2\\ -4 & -1\end{vmatrix}=1
\,y=-\dfrac{5}{11}
Por lo tanto:
\,x=-\dfrac{1}{11}
\,y=-\dfrac{5}{11}
Regla de Cramer 3×3 Metodo Ejercicios y ejemplos Resueltos Ejemplos
Resuelva si es posible el siguiente sistema por el metodo de Cramer
\,\left\{\begin{matrix}x-y+5z = 13\\ 3x-2y+z=12 \\ x+y+2z =9 \end{matrix}\right.
- Comprobamos la primer condicion: Tenemos 3 incognitas \,x\, y\, z y tenemos 3 ecuaciones
- Comprobamos la segunda condicion: El determinante formado por el sistema de ecuaciones es distinto de cero
\,\left | \mathrm{A} \right |=\begin{vmatrix}1 & -1 & 5\\ 3 & -2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{vmatrix}\neq 0=25
\,x=\dfrac{\left | A_x \right |}{\left | A \right |}
\,\left | A_x \right |=\begin{vmatrix}13 & -1 & 5 \\ 12 & -1 & 1\\9 & 1 & 2\end{vmatrix}=100
\,x=-\dfrac{100}{25}=4
\,y=\dfrac{\left | A_y \right |}{\left | A \right |}
\,\left | A_y \right |=\begin{vmatrix}1 & 13 & 5 \\ 3 & 12 & 1\\1 & 9 & 2\end{vmatrix}=25
\,x=-\dfrac{25}{25}=1
\,z=\dfrac{\left | A_z \right |}{\left | A \right |}
\,\left | A_z \right |=\begin{vmatrix}1 & -1 & 13 \\ 3 & -2 & 12\\1 & 1 & 9\end{vmatrix}=50
\,x=-\dfrac{50}{25}=2
\,x=4
\,y=1
\,z=2