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¿ Cual es el rango de una matriz ? Definición
Definición: el rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo que podemos obtener de dicha matriz.
Dada una matriz, se llama menor de orden k, al determinante de cualquier matriz cuadrada de orden k que se puede formar con los elementos de dicha matriz.
Rango máximo de una matriz
El rango máximo sera la dimensión máxima cuadrada de la matriz.
Veamos unos ejemplos:
- El de una matriz 2×2 sera 2
- El de una matriz 3×4 sera 3
- De una matriz 4×5 sera 4
Como calcular o hallar el rango de una matriz por determinantes
Orlar una matriz
Para calcular el rango de una matriz vamos a seguir el siguiente procedimiento:
Empezaremos a analizar el rango de la matriz desde el mínimo posible hasta el máximo, buscando menores del orden correspondiente no nulos.
Ejemplo explicativo ( matriz 3×4)
Sea la matriz no cuadrada de dimensiones 3×4
A=\begin{pmatrix}1&-3&-3&0\\ 2&1&3&-1\\ 0&7&7&-1\end{pmatrix}
En primer lugar comprobamos que existe al menos un menor de orden 1 que sea distinto de cero : como existe al menos un elemento de la matriz que es diferente de cero, concluimos que el rango de dicha matriz es uno o mayor que uno.
\mathrm{Rang}(A)\geq 1
Ahora pasamos a analizar si existe al menos un menor de orden 2 que sea distinto de cero: para ello tenemos que buscar determinantes de orden 2 formados por los diferentes elementos de la matriz y comprobar que al menos uno es distinto de cero. Este proceso es conocido como orlar una matriz. Analizando los diferentes determinantes de orden dos, encontramos:
\begin{vmatrix}-3&-2\\ 1&3\end{vmatrix}=-4\neq 0
Por lo tanto, hemos encontrado ya uno menor de orden 2 que es diferente de cero. Concluimos que el rango de esta matriz es dos o mayor que dos
\mathrm{Rang}(A)\geq 2
Analizamos los menores de orden 3. El procedimiento es el mismo que con los menores de orden 2. Después de analizar los diferentes determinantes que se pueden formar ( unicamente son 2) vemos que son iguales a cero y por lo tanto no hay ningún menor de orden 3 no nulo.
\begin{vmatrix}1&-3&-2\\ 2&1&3\\ 0&7&7\end{vmatrix}=0
\begin{vmatrix}-3&-2&0\\ 1&3&-1\\ 7&7&-1\end{vmatrix}=0
Por tanto el rango de dicha matriz es 2
\mathrm{Rang}(A)= 2
Matriz 2×2
¿ Como calcular el rango ?
Seguimos el procedimiento general explicado con anterioridad sabiendo que el rango máximo de una matriz 2×2 es 2.
Ejemplo explicativo resuelto paso a paso
Sea la matriz 2×2 A=\begin{pmatrix}2&1\\ 1&0\end{pmatrix}.
- Comprobamos que la existencia de un menor de orden 1 distinto de cero: tres elementos de la matriz son no nulos. Por lo tanto: el rango de esta matriz 2×2 tiene que ser mayor o igual a 1
\mathrm{Rang}(A)\geq 1
- Realizamos el determinante de la matriz para comprobar si el rango es 2 o 1.
\begin{vmatrix}2&1\\ 1&0\end{vmatrix}=-1\neq 0
- Por lo tanto, el rando de esta matriz es 2
\mathrm{Rang}(A)=2
Matriz 4×4
¿ Como hallar el rango ?
Seguimos el procedimiento general sabiendo que el rango máximo de una matriz 4×4 es 4.
Ejemplo explicativo resuelto paso a paso
Sea la matriz de dimensiones 4×4 B=\begin{pmatrix}2&1&3&4\\ \:1&4&2&0\\ \:0&2&0&2\\ \:1&2&5&1\end{pmatrix}.
- Existe al menos un elemento de la matriz distinto de cero.
\mathrm{Rang}(B)\geq 1
- Al menos un menor de orden dos es no nulo.
\begin{vmatrix}2&1\\ 1&4\end{vmatrix}=7\neq 0
\mathrm{Rang}(B)\geq 2
- Comprobamos la existencia de un menor de orden 3 no nulo.
\begin{vmatrix}2&1&3\\ 1&4&2\\ 0&2&0\end{vmatrix}=-2
\mathrm{Rang}(B)\geq 3
- Realizamos el determinante de la matriz original 4×4 para comprobar si el rango es 3 o 4.
\begin{vmatrix}2&1&3&4\\ 1&4&2&0\\ 0&2&0&2\\ 1&2&5&1\end{vmatrix}=-72
- Por lo tanto, el rango de la matriz es 4
\mathrm{Rang}(B)=4
Matriz 3×3
¿ Como calcular el rango ?
Para calcular el rango de una matriz 3×3 seguimos el método general explicado con anterioridad teniendo en cuenta que el rango máximo es 3.
Ejemplo explicativo resuelto paso a paso
Sea la matriz de dimensión 3×3 C=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&2&2\\ 0&0&0\end{pmatrix}.
- Al menos un elemento de la matriz es no nulo. Por tanto:
\mathrm{Rang}(C)\geq 1
- Comprobamos la existencia de algún menor de orden dos no nulo:
\begin{vmatrix}1&0\\ 0&2\end{vmatrix}=-2\neq 0
\mathrm{Rang}(C)\geq 2
- Realizamos el determinante de la matriz para ver si el rango es 2 o 3:
\begin{vmatrix}1&0&0\\ 0&2&2\\ 0&0&0\end{vmatrix}=0
- Por tanto:
\mathrm{Rang}(C)=2
Calcular el rango de una matriz ejercicios resueltos paso a paso [ pdf ]
Ejercicio 1. Determina el rango de la siguiente matriz 4×4 según los valores del parámetro m
A=\begin{pmatrix}1&1&2&1\\ m&1&-1&0\\ 3&m&1&1\\ 1&1&m&1\end{pmatrix}
Solución 1.
- Si m\neq 2 y m\neq -1el rango de la matriz es 4
- Si m=2 el rango de la matriz es 2
- Si m=-1 el rango de la matriz es 3
Rango de una matriz ejemplos
Matriz con rango 0
\begin{pmatrix}0&0\\ 0&0\end{pmatrix}
Matriz con rango 1
\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}
Matriz con rango 2
\begin{pmatrix}1&2\\ 1&2\end{pmatrix}
Matriz no cuadrada
\begin{pmatrix}1&2&1\\ 0&2&1\end{pmatrix}El rango de esta matriz es 2
Matriz escalonada
Se realiza igual que una matriz normal.
\begin{pmatrix}1&2&3\\ 0&1&0\\ 0&0&1\end{pmatrix}El rango de esta matriz escalonada es 3
Matriz ampliada
Se realiza como si fuera una matriz normal.
